Question

四棱锥S-ABCD中，四边形ABCD为矩形，M为AB中点，且△SAB为等腰直角三角形，SA=SB=2，SC⊥BD，DA⊥平面SAB．
（1）求证：平面SBD⊥平面SMC
（2）设四棱锥S-ABCD外接球的球心为H，求棱锥H-MSC的高．

Answer

（1）要证明面面垂直，常用其判定定理来证明，即在其中一个平面内找到一条直线与另一平面垂直；
（2）空间中求距离，可用空间向量来解决，也可用等体积法来做．
【解析】
（1）∵SA=SB，M为AB中点，∴SM⊥AB
又∵DA⊥平面SAB，∴DA⊥SM，∴SM⊥平面ABCD
又∵DB⊂平面ABCD，∴SM⊥DB
又SC⊥BD，∴DB⊥平面SMC，∴平面SBD⊥平面SMC．
（2）由（1）知DB⊥平面SMC，∴DB⊥MC
∴△ABD∽△BCM，故⇒⇒BC=2
设AC∩BD=N，∵AS⊥BS，DA⊥BS，∴SB⊥平面SAD
∴SB⊥SD，显然NA=NB=NC=ND=NS，所以H与N重合，即为球心．
法一：连接MH，∵SM⊥平面ABCD
∴S△HMC=S△ABC-S△AMH-S△MBC=，
且，
设棱锥H-MSC的高是h，则S△HMC×SM=S△MSC×h，
∴=．
法二：以点M为原点，分别以MS，MB，MH为X，Y，Z轴建立空间直角坐标系，
则M（0，0，0），B（0，，0），C（0，，2），H（0，0，1）
所以，，||=，
设棱锥H-MSC的高为h，则=
∴．