设F1、F2分别是椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点，M，N分别为其短釉的两个端点，...

设F₁、F₂分别是椭圆 manfen5.com 满分网

（a＞b＞0）的左、右焦点，M，N分别为其短釉的两个端点，且四边形MF₁NF₂的周长为4设过F₁的直线l与E相交于A，B两点，且|AB|= manfen5.com 满分网

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（1）求|AF₂|•|BF₂|的最大值；
（2）若直线l的倾斜角为45°，求△ABF₂的面积．

（1）利用椭圆的定义，结合四边形的周长，及|AB|的长，利用基本不等式，即可求|AF2|•|BF2|的最大值；（2）设出直线l的方程与椭圆方程联立，利用韦达定理及|AB|的长，求出直线方程，即可求△ABF2的面积．【解析】（1）∵四边形MF1NF2为菱形，周长为4，∴a=1 由椭圆的定义可知|AF2|+|AB|+|BF2|=4a=4， ∵|AB|=，∴|AF2|+|BF2|= ∴|AF2|•|BF2|≤= 当且仅当|AF2|=|BF2|=时，等号成立，即|AF2|•|BF2|的最大值为；（2）∵直线l的倾斜角为45°，∴可设l的方程为y=x+c，其中由（1）知椭圆E的方程为直线方程代入椭圆方程，化简可得（1+b2）x2+2cx+1-2b2=0 设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，x1x2= ∵|AB|=|x1-x2|= ∴= ∴ ∴c= ∴l的方程为 ∴F2到l的距离d=1 ∴

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考点分析：

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四棱锥S-ABCD中，四边形ABCD为矩形，M为AB中点，且△SAB为等腰直角三角形，SA=SB=2，SC⊥BD，DA⊥平面SAB．
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