Question

我们在下面的表格内填写数值：先将第1行的所有空格填上1；再把一个首项为1，公比为q的数列{a_n}依次填入第一列的空格内；然后按照“任意一格的数是它上面一格的数与它左边一格的数之和”的规则填写其它空格．

	第1列	第2列	第3列	…	第n列
第1行	1	1	1	…	1
第2行	q
第3行	q^2
…	…
第n行	q^n-1

（1）设第2行的数依次为B₁，B₂，…，B_n，试用n，q表示B₁+B₂+…+B_n的值；
（2）设第3列的数依次为c₁，c₂，c₃，…，c_n，求证：对于任意非零实数q，c₁+c₃＞2c₂；
（3）请在以下两个问题中选择一个进行研究 （只能选择一个问题，如果都选，被认为选择了第一问）．
①能否找到q的值，使得（2）中的数列c₁，c₂，c₃，…，c_n的前m项c₁，c₂，…，c_m （m≥3）成为等比数列？若能找到，m的值有多少个？若不能找到，说明理由．
②能否找到q的值，使得填完表格后，除第1列外，还有不同的两列数的前三项各自依次成等比数列？并说明理由．

Answer

（1）根据题意分别求出B1、B2，利用归纳法求出Bn，再由分组求和法求出和式的值；
（2）根据题意分别求出c1，c2，c3，再进行作差：c1+c3-2c2，化简后判断出符号，即得证；
（3）①先设c1，c2，c3成等比数列求出公比q，再去检验是否为q，求出m和q；
②设x1，x2，x3和y1，y2，y3分别为第k+1列和第m+1列的前三项，有条件分别求出各项，再求出对应的公比，再由k≠m进行判断．
【解析】
（1）由题意得，B1=q，B2=1+q，
B3=1+（1+q）=2+q，…，Bn=（n-1）+q，
∴B1+B2+…+Bn=1+2+…+（n-1）+nq=．
（2）由题意得，c1=1，c2=1+（1+q）=2+q，
，
由 ，
即 c1+c3＞2c2．  
（3）①先设c1，c2，c3成等比数列，由得，
 3+2q+q2=（2+q）2，．
此时 c1=1，，
∴c1，c2，c3是一个公比为的等比数列． 
如果m≥4，c1，c2，…，cm为等比数列，那么c1，c2，c3一定是等比数列．
由上所述，此时，，，
由于，因此，对于任意m≥4，c1，c2，…，cm一定不是等比数列．
综上所述，当且仅当m=3且时，数列c1，c2，…，cm是等比数列．
②设x1，x2，x3和y1，y2，y3分别为第k+1列和第m+1列的前三项，1≤k＜m≤n-1，
则，
若第k+1列的前三项x1，x2，x3是等比数列，则
由，得，，，
同理，若第m+1列的前三项y1，y2，y3是等比数列，则．
当k≠m时，．
所以，无论怎样的q，都不能同时找到两列数（除第1列外），使它们的前三项都成等比数列．