Question

如图所示，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面边长为a，侧棱长为，D是棱A₁C₁的中点．
（Ⅰ）求证：BC₁∥平面AB₁D；
（Ⅱ）求二面角A₁-AB₁-D的大小；
（Ⅲ）求点C₁到平面AB₁D的距离．

Answer

（I）要证线面平行，先证线与线平行，连接A1B与AB1交于E，则E为A1B的中点，得到D为A1C1的中点，得到DE为△A1BC1的中位线，得到平行．
（II）先做出二面角的平面角，根据由三垂线定理的逆定理可得EF⊥AB1．则∠DEF为二面角的平面角，根据三角形相似，求出三角形的角度大小，就得到二面角的平面角．
（III）要求点到面的距离，根据同一个几何体的体积相等，其中一个几何体的高就是要求的点到面的距离，解方程得到结果．
【解析】
（Ⅰ） 连接A1B与AB1交于E，则E为A1B的中点，
∵D为A1C1的中点，
∴DE为△A1BC1的中位线，
∴BC1∥DE
又DE⊂平面AB1D，BC1⊄平面AB1D，
∴BC 1∥平面AB1D
（Ⅱ）过D作DF⊥A1B1于F，由正三棱柱的性质可知，
DF⊥平面AB1，连接EF，DE，在正△A1B1C1中，
，
在直角三角形AA1D中，AD=
∴AD=B1D，DE⊥AB1
由三垂线定理的逆定理可得EF⊥AB1．则∠DEF为二面角的平面角，
又得DF=
∵△B1FE∽△B1AA1
∴EF=
∴∠DEF=
故所求二面角的大小为
（Ⅲ）设求点C1到平面AB1D的距离h
因AD2+DB12=AB12，所以AD⊥DB1，
故
∴•A1A
∴h=
即点C1到平面AB1D的距离是