Question

已知点C（4，0）和直线l：x=1，过动点P作PQ⊥l，垂足为Q，且；
（1）求点P的轨迹方程，
（2）过点C的直线m与点P的轨迹交于两点M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），其中x₁x₂＞0，点B（1，0），若△BMN的面积为，求直线m的方程．

Answer

（1）由，知，设P（x，y），代入得，整理得点P的轨迹方程．
（2）由题知直线m的斜率不为0，且点C（4，0）为双曲线 的右焦点，设m的方程为x=ty+4，由得（3t2-1）y2+24ty+36=0，所以x1x2=（ty1+4）（ty2+4）=t2y1y2+4t（y1+y2）+16．由此入手能够求出直线m的方程．
【解析】
（1）由题，∴，
设P（x，y），
代入得，
整理得点P的轨迹方程为：，（3分）
（2）由题知直线m的斜率不为0，
且点C（4，0）为双曲线的右焦点，
设m的方程为x=ty+4，由得（3t2-1）y2+24ty+36=0，（5分）
易知3t2-1≠0且，
∴x1x2=（ty1+4）（ty2+4）=t2y1y2+4t（y1+y2）+16，（7分）
由x1x2＞0得，=，（10分）
解得或（舍），
∴，
直线m的方程为：2x+y-8=0或2x-y-8=0．（12分）