Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且对一切正整数n成立．
（1）证明：数列{3+a_n}是等比数列，并求出数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=a_n，求数列{b_n}的前n项和为B_n；
（3）数列{a_n}中是否存在构成等差数列的四项？若存在求出一组；否则说明理由．

Answer

（1）由已知可得Sn=2an-3n，进而得an+1=Sn+1-Sn=2an+3，故an+1+3=2（an+3），数列{an+3}是等比数列，易求结果；（2）由（1）可知bn=an=n2n-n，由错位相减法可解；（3）先假设存在，由题意可得2m+2q=2n+2p，即1+2q-m=2n-m+2p-m，推出矛盾．
【解析】
（1）由an=（3n+Sn）可得Sn=2an-3n，故an+1=Sn+1-Sn=2an+3
由待定系数法得an+1+3=2（an+3）又a1+3=6≠0
∴数列{an+3}是以6为首项，2为公比的等比数列．
∴an+3=6×2n-1，
∴an=3（2n-1）．…（4分）
（2）由（1）可得bn=an=n2n-n，
∴Bn=1×21+2×22+3×23+…+n×2n-（1+2+3+…+n）   ①
∴2Bn=1×22+2×23+3×24+…+n×2n+1-2（1+2+3+…+n）   ②
①-②得，-Bn=2+（22+23+…+2n）+
化简可得Bn=2+．…（9分）
（3）假设数列{an}存在构成等差数列的四项依次为：am、an、ap、aq（m＜n＜p＜q）
则3（2m-1）+3（2q-1）=3（2n-1）+3（2p-1）∴2m+2q=2n+2p．
上式两边同除以2m，则1+2q-m=2n-m+2p-m
∵m、n、p、q∈N*，且m＜n＜p＜q，
∴上式左边是奇数，右边是偶数，相矛盾．
∴数列{an}不存在构成等差数列的四项．