Question

已知椭圆的离心率为．
（I）若原点到直线x+y-b=0的距离为，求椭圆的方程；
（II）设过椭圆的右焦点且倾斜角为45°的直线l和椭圆交于A，B两点．
（i）当，求b的值；
（ii）对于椭圆上任一点M，若，求实数λ，μ满足的关系式．

Answer

（I）由题意知b=2，a2=12，b2=4．由此可知椭圆的方程为．
（II）（i）由题意知椭圆的方程可化为：x2+3y2=3b2，AB：，所以．设A（x1，y1），B（x2，y2），，所以b=1．
（II）（ii）显然与可作为平面向量的一组基底，由平面向量基本定理，对于这一平面内的向量，有且只有一对实数λ，μ，使得等成立．同上经可知λ2+μ2=1．
【解析】
（I）∵，∴∵，∴∵，∴解得a2=12，b2=4．
椭圆的方程为．（4分）
（II）（i）∵，∴．椭圆的方程可化为：x2+3y2=3b2①
易知右焦点，据题意有AB：②
由①，②有：③
设A（x1，y1），B（x2，y2），∴b=（18分）
（II）（ii）显然与可作为平面向量的一组基底，由平面向量基本定理，对于这一平面内的向量，有且只有一对实数λ，μ，使得等成立．
设M（x，y），∵（x，y）=λ（x1，y1）+μ（x2，y2），∴x=λx1+μx2，y=λy1+μy2，
又点M在椭圆上，∴（λx1+μx2）2+3（λy1+μy2）2=3b2④
由③有：
则3b2-9b2+6b2=0⑤
又A，B在椭圆上，故有x12+3y12=3b2，x22+3y22=3b2⑥
将⑥，⑤代入④可得：λ2+μ2=1．（14分）