Question

已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，2bcosc=2a-c
（I）求 B；
（II）若△ABC的面积为，求b的取值范围．

Answer

（1）根据正弦定理结合sinA=sin（B+C），化简整理得2cosBsinC=sinC，结合sinC＞0解出cosB=，从而可得B=．
（2）由正弦定理的面积公式，得=，从而解出ac=4，再结合基本不等式求最值和三角形两边之和大于第三边，即可得到b的取值范围．
【解析】
（1）由正弦定理，得2sinBcosC=2sinA-sinC，----（2分）
在△ABC中，sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC，
∴2cosBsinC=sinC，
又∵C是三角形的内角，可得sinC＞0，∴2cosB=1，可得cosB=，
∵B是三角形的内角，B∈（0，π），∴B=．-----（6分）
（2）∵S△ABC==，B=
∴，解之得ac=4，----（8分）
由余弦定理，得b2=a2+c2-2accosB=a2+c2-ac≥2ac-ac=ac=4，（当且仅当a=c=2时，“=”成立）
∴当且仅当a=c=2时，b的最小值为2．----（12分）
综上所述，边b的取值范围为[2，+∞）----（13分）