Question

如图，△ABC是等腰直角三角形∠ACB=90°，AC=2a，D，E分别为AC，AB的中点，沿DE将△ADE折起，得到如图所示的四棱锥A′-BCDE
（Ⅰ）在棱A′B上找一点F，使EF∥平面A′CD；
（Ⅱ）当四棱锥A'-BCDE体积取最大值时，求平面A′CD与平面A′BE夹角的余弦值．

Answer

（I）取A'C的中点G，连结DG、EF、GF．运用中位线定理证出四边形DEFG是平行四边形，从而得到EF∥DG，结合线面平行的判定定理，即可证出EF∥平面A'CD．因此可得当F为棱A'B的中点时，EF∥平面A′CD；
（II）在平面A′CD内作A'H⊥CD于点H，利用线面垂直的判定与性质，证出A'H⊥底面BCDE，从而得到点H和D重合时，四棱锥A'-BCDE体积取最大值．然后以DC、DE、DA'所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系如图，给出A'、B、E的坐标，从而算出、的坐标，利用垂直向量数量积为零建立方程组，解出=（-，1，1）是平面A'BE的一个法向量；同理解出平面A'CD的一个法向量=（0，1，0）．最后利用空间向量的夹角公式算出夹角的余弦值，结合图形即可得到四棱锥A'-BCDE体积取最大值时平面A′CD与平面A′BE夹角的余弦值．
【解析】
（I）当F为棱A'B的中点时，EF∥平面A′CD．证明如下：
取A'C的中点G，连结DG、EF、GF，则
由中位线定理得DE∥BC、DE=BC，且F∥BC、GF=BC．
∴DE∥GF且DE=GF，可得四边形DEFG是平行四边形，
∴EF∥DG
∵EF⊄平面A'CD，DG⊂平面A'CD，∴EF∥平面A′CD
因此，当F为棱A'B的中点时，EF∥平面A′CD．----（4分）
（II）在平面A′CD内作A'H⊥CD于点H，
∵DE⊥A'D，DE⊥CD，且A'D∩CD=D
∴DE⊥平面A'CD，可得A'H⊥DE，
又∵DE∩CD=D，∴A'H⊥底面BCDE，即A'H就是四棱锥A'-BCDE的高．
由A'H≤AD，得点H和D重合时，四棱锥A'-BCDE体积取最大值．--（8分）
分别以DC、DE、DA'所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系如图，
则A'（0，0，a），B（a，2a，0），E（0，a，0），
∴=（a，2a，-a），=（0，a，-a），
设平面A'BE的一个法向量为=（x，y，z），
由得
取y=1，得x=-1，z=1．得到=（-，1，1），
同理，可求得平面A'CD的一个法向量=（0，1，0）
∴cos===
故平面A'CD与平面A'BE夹角的余弦值为
综上所述，四棱锥A'-BCDE体积取最大值时，平面A′CD与平面A′BE夹角的余弦值等于----（12分）