Question

如图：AB是⊙O的直径，G是AB延长线上的一点，GCD是⊙O的割线，过点G作AG的垂线，交直线AC于点E，交直线 AD于点F，过点G作⊙O的切线，切点为H．
求证：
（I）C，D，E，F四点共圆；
（II）若GH=6，GE=4，求EF的长．

Answer

（1）连接DB，利用AB是⊙O的直径，可得∠ADB=90°，在Rt△ABD和Rt△AFG中，∠ABD=∠AFE，又同弧所对的圆周角相等可得∠ACD=∠ABD，进而得到∠ACD=∠AFE即可证明四点共圆；
（2）由C，D，E，F四点共圆，利用共线定理可得GE•GF=GC•GD．由GH是⊙O的切线，利用切割线定理可得GH2=GC•GD，进而得到GH2=GE•GF．即可
证明：（1）连接DB，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，
在Rt△ABD和Rt△AFG中，∠ABD=∠AFE，
又∵∠ABD=∠ACD，∴∠ACD=∠AFE．
∴C，D，E，F四点共圆；
（2）∵C，D，E，F四点共圆，∴GE•GF=GC•GD．
∵GH是⊙O的切线，∴GH2=GC•GD，∴GH2=GE•GF．
又因为GH=6，GE=4，所以GF=9．
∴EF=GF-GE=9-4=5．