Question

已知函数f（x）=|2x-1|+|x-2a|，f（x）≤3
（I）当a=1时，求f（x）≤3的解集；
（II）当x∈[1，2]时，f（x）≤3恒成立，求实数a的取值范围．

Answer

（I）当a=l时，原不等式可化为|2x-1|+|x-2|≤3，分当x＞2时、当≤x≤2时、当x＜时这三种情况，分别求得不等式的解集，再取并集，即得所求．
（II）原不等式可化为|x-2a|≤3-|2x-1|，由x∈[1，2]，可得|x-2a|≤4-2x，故3x-4≤2a≤4-x 对x∈[1，2]恒成立，当1≤x≤2时，求得3x-4 的最大值和4-x的最小值，可得a的取值范围．
【解析】
（I）当a=l时，原不等式可化为|2x-1|+|x-2|≤3，依题意，
当x＞2时，不等式即3x-3≤3，则解得 x≤2，综合可得，x无解．
当≤x≤2时，不等式即 x+1≤3，解得x≤2，综合可得，≤x≤2．
当x＜时，不等式即 3-3x≤3，解得x≥0，综合可得0≤x＜．
综上所述：原不等式的解集为[0，2]．----（5分）
（II）原不等式可化为|x-2a|≤3-|2x-1|，∵x∈[1，2]，
所以，|x-2a|≤4-2x，即 2x-4≤2a-x≤4-2x，故3x-4≤2a≤4-x 对x∈[1，2]恒成立，
当1≤x≤2时，3x-4 的最大值2，4-x的最小值为2，所以a=1，即a的取值范围为{1 }． （10分）