Question

已知函数
（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）已知cos（α-β）=，cos（α+β）=，0＜α＜β≤，求f（β）．

Answer

（Ⅰ）利用诱导公式化简函数f（x）的解析式为 2sin（x-），令 2kπ-≤x-≤2kπ+，k∈z，求得x的范围，即可得到函数的增区间．
（Ⅱ）由已知条件，利用同角三角函数的基本关系求得sin（α-β）=-，sin（α+β）=．再根据cos2β=cos[（α+β）-（α-β）]，利用两角差的余弦公式求得结果，可得2β=π，从而求得f（β）=2sin（β-） 的值．
【解析】
（Ⅰ）∵函数=sin（x-）-cos（x+）
=2sin（x-）．
令 2kπ-≤x-≤2kπ+，k∈z，求得 2kπ-≤x≤2kπ+，k∈z，
故函数的增区间为[2kπ-，2kπ+]，k∈z．
（Ⅱ）已知cos（α-β）=，cos（α+β）=，0＜α＜β≤，
∴sin（α-β）=-，sin（α+β）=．
∴cos2β=cos[（α+β）-（α-β）]=cos（α+β）cos（α-β）+sinα+β）sin（α-β）=-+（-）=-1，
∴2β=π，∴f（β）=2sin（β-）=2sin=．