Question

已知等差数列{a_n}的首项a₁=3，且公差d≠0，其前n项和为S_n，且a₁，a₄，a₁₃分别是等比数列{b_n}的b₂，b₃，b₄．
（Ⅰ）求数列{a_n}与{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）证明．

Answer

（Ⅰ）设等比数列的公比为q，利用a1，a4，a13分别是等比数列{bn}的b2，b3，b4，求出公差，即可求出数列{an}与{bn}的通项公式；
（Ⅱ）求出前n项和，可得数列通项，利用裂项法求数列的和，即可证得结论．
（Ⅰ）【解析】
设等比数列的公比为q，则
∵a1，a4，a13分别是等比数列{bn}的b2，b3，b4．
∴
∵a1=3，∴d2-2d=0
∴d=2或d=0（舍去）
∴an=3+2（n-1）=2n+1
∵，
∴bn=3n-1；
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知
∴==（）
∴==
=＜
∵≤=
∴≥
∴