Question

某工厂共有10台机器，生产一种仪器元件，由于受生产能力和技术水平等因素限制，会产生一定数量的次品．根据经验知道，若每台机器产生的次品数P（万件）与每台机器的日产量x（万件）（≤x≤12）之间满足关系：P=0.1x²-3.2lnx+3．已知每生产1万件合格的元件可以盈利2万元，但每产生1万件装次品将亏损1万元．（利润=盈利-亏损）
（Ⅰ）试将该工厂每天生产这种元件所获得的利润y（万元）表示为x的函数；
（Ⅱ）当每台机器的日产量x（万件）为多少时所获得的利润最大，最大利润为多少？

Answer

（Ⅰ）利用利润=盈利-亏损，可建立利润函数；
（Ⅱ）求导函数，求得函数的单调性，即可求得函数的最值．
【解析】
（Ⅰ）由题意得，所获得的利润为y=10[2（x-p）-p]=20x-3x2+96lnx-90（4≤x≤12）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，y′==
当4≤x＜6时，y′＞0，函数在[4，6]上为增函数；当6＜x≤12时，y′＜0，函数在[6，12]上为减函数，
∴当x=6时，函数取得极大值，且为最大值，最大利润为y=20×6-3×62+96ln6-90=96ln6-78（万元）
答：当每台机器的日产量为6万件时所获得的利润最大，最大利润为96ln6-78万元．