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高中数学试题
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已知椭圆的左、右焦点分别为F1、F2,点M是椭圆上的任意一点,且|PF1|+|P...
已知椭圆
的左、右焦点分别为F
1
、F
2
,点M是椭圆上的任意一点,且|PF
1
|+|PF
2
|=4,椭圆的离心率
.
(Ⅰ)求椭圆E的标准方程;
(Ⅱ)过椭圆E的左焦点F
1
作直线l交椭圆于P、Q两点,点A为椭圆右顶点,能否存在这样的直线,使
,若存在,求出直线方程,若不存在,说明理由.
(I)利用椭圆的定义、离心率计算公式及a2=b2+c2即可得出; (II)先对直线l的斜率讨论,把直线l的方程与椭圆的方程联立,利用根与系数的关系及向量的数量积运算即可得出. 【解析】 (I)由题意可得,解得. 故椭圆的方程为. (II)若直线l⊥x轴,则,, 又A(2,0),∴=,, ∴,此时不满足条件,直线l不存在. 当直线l的斜率存在时,设直线ld的方程为:y=k(x+1),P(x1,y1),Q(x2,y2). 联立,消去y得到(3+4k2)x2+8k2x+4k2-12=0, ∴,. ∵,. ∴=(x1-2)(x2-2)+k(x1+1)•k(x2+1)=3. ∴, ∴, 解得. ∴满足条件的直线l存在,其方程为.
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考点分析:
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2
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1
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1
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4
,a
13
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n
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2
,b
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.
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.
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