Question

已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中x∈R，A＞0，ω＞0，-＜φ＜）的部分图象如图所示．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）已知在函数f（x）的图象上的三点M，N，P的横坐标分别为-1，1，5，求sin∠MNP的值．

Answer

（Ⅰ）利用最高点确定A的值，利用周期，确定ω的值，利用最高点的坐标，确定φ的值，即可求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）确定点M，N，P的坐标，再利用余弦定理，即可求sin∠MNP的值．
【解析】
（Ⅰ）由图可知，A=1，最小正周期T=4×2=8．
由T==8，得ω=．…（3分）
又f（1）=sin（+φ）=1，且-＜φ＜，
所以+φ=，即φ=．…（5分）
所以f（x）=sin（x+）．…（6分）
（Ⅱ）因为f（-1）=0，f（1）=1，f（5）=-1
所以M（-1，0），N（1，1），P（5，-1）．…（7分）
所以|MN|=，|PN|=，|MP|=．
由余弦定理得cos∠MNP=．           …（11分）
因为∠MNP∈[0，π），所以sin∠MNP=．…（13分）