Question

已知抛物线C：x²=4y，M为直线l：y=-1上任意一点，过点M作抛物线C的两条切线MA，MB，切点分别为A，B．
（Ⅰ）当M的坐标为（0，-1）时，求过M，A，B三点的圆的方程；
（Ⅱ）证明：以AB为直径的圆恒过点M．

Answer

（Ⅰ）当M的坐标为（0，-1）时，设过M切线方程为y=kx-1，与抛物线解析式联立，消去y得关于x的一元二次方程，根据题意得到根的判别式的值为0，求出k的值，代入确定出A与B的坐标，设圆心P（0，a），由|PM|=|PB|，列出关于a的方程，求出方程的解得到a的值，确定出圆心坐标及半径，写出圆的标准方程即可；
（Ⅱ）设M（x，-1），由已知抛物线解析式变形得y=，求出导函数y′=x，设出切点A与B坐标分别为A（x1，），B（x2，），表示出切线MA与切线MB的方程，再由切线MA与MB过M，将M坐标分别代入得到两个关系式，x1，x2是方程-1=xx-x2的两实根，利用韦达定理表示出两根之和与两根之积，再表示出两向量与，将表示出两根之和与两根之积代入计算•的值为0，即可得到以AB为直径的圆恒过点M．
（Ⅰ）【解析】
当M的坐标为（0，-1）时，设过M点的切线方程为y=kx-1，
由，消y得x2-4kx+4=0，（1）
令△=（4k）2-4×4=0，解得：k=±1，
代入方程（1），解得A（2，1），B（-2，1），
设圆心P的坐标为（0，a），由|PM|=|PB|，得a+1=2，解得a=1，
故过M，A，B三点的圆的方程为x2+（y-1）2=4；    
（Ⅱ）证明：设M（x，-1），由已知得y=，y′=x，
设切点分别为A（x1，），B（x2，），
∴kMA=，kMB=，
切线MA的方程为y-=（x-x1），即y=x1x-x12，
切线MB的方程为y-=（x-x2），即y=x2x-x22，
又因为切线MA过点M（x，-1），
所以得-1=xx1-x12，①
又因为切线MB也过点M（x，-1），
所以得-1=xx2-x22，②
所以x1，x2是方程-1=xx-x2的两实根，
由韦达定理得x1+x2=2x，x1x2=-4，
因为=（x1-x，+1），=（x2-x，+1），
所以•=（x1-x）（x2-x）+（+1）（+1）
=x1x2-x（x1+x2）+x2++（x12+x22）+1
=x1x2-x（x1+x2）+x2++[（x1+x2）2-2x1x2]+1，
将x1+x2=2x，x1x2=-4代入，得•=0，
则以AB为直径的圆恒过点M．