Question

已知椭圆C的两焦点为F₁（-1，0），F₂（1，0），并且经过点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知圆O：x²+y²=1，直线l：mx+ny=1，证明当点P（m，n）在椭圆C上运动时，直线l与圆O恒相交；并求直线l被圆O所截得的弦长的取值范围．

Answer

（1）解法一由椭圆的定义知2a=|MF1|+|MF2|=4，得到a=2，又c=1根据a，b，c的关系b2=a2-c2=3故得到，进而可得答案；
解法二利用待定系数法设椭圆方程为，将M点的坐标代入得又a2=b2+1所以可得a2=4，b2=3，进而可得答案；
（2）点P在椭圆上即所以，所以圆心到直线的距离小于半径r，所以直线l与圆O相交．所以弦长l==又0≤m2≤4所以．
【解析】
（1）解法一：设椭圆C的标准方程为，
由椭圆的定义知：
得
故C的方程为．
解法二：设椭圆C的标准方程为，
依题意，a2=b2+1①，将点坐标代入得②
由①②解得a2=4，b2=3，故C的方程为．
（2）因为点P（m，n）在椭圆C上运动，所以，则，
从而圆心O到直线l：mx+ny=1的距离，
所以直线l与圆O相交．
直线l被圆O所截的弦长为=
∵，∴．