Question

对于给定数列{c_n}，如果存在实常数p，q使得c_n+1=pc_n+q对于任意n∈N^*都成立，我们称数列{c_n}是“T数列”．
（Ⅰ）若a_n=2n，b_n=3•2ⁿ，n∈N^*，数列{a_n}、{b_n}是否为“T数列”？若是，指出它对应的实常数p，q，若不是，请说明理由；
（Ⅱ）证明：若数列{a_n}是“T数列”，则数列{a_n+a_n+1}也是“T数列”；
（Ⅲ）若数列{a_n}满足a₁=2，a_n+a_n+1=3t•2ⁿ（n∈N^*），t为常数．求数列{a_n}前2013项的和．

Answer

（I）根据“T数列”的定义加以验证，可得{an}是“T数列”，对应的实常数分别为1和2；数列{bn}也是“T数列”，对应的实常数分别为2和0；
（II）若数列{an}是“T数列”，则存在实常数p、q，满足an+1=pan+q、an+2=pan+1+q对于任意n∈N*都成立，两式对应相加即可证出数列{an+an+1}也是“T数列”，对应的实常数分别为p、2q；
（III）根据等式an+an+1=3t•2n（n∈N*），分别取n=2、4、…、2012，得到1006个等式．而S2013=a1+（a2+a3）+（a4+a5）+…+（a2010+a2011）+（a2012+a2013），将a1=2和前面1006个等式代入，结合等比数列求和公式即可算出数列{an}前2013项的和的表达式．
【解析】
（Ⅰ）因为an=2n，则有an+1=2n+2=1×an+2（n∈N*），
所以数列{an}是“T数列”，对应的实常数分别为1和2．
因为bn=3•2n，则有bn+1=3•2n+1=2×3•2n+1=2bn （n∈N*），
所以数列{bn}是“T数列”，对应的实常数分别为2和0---（4分）
（Ⅱ）若数列{an}是“T数列”，则存在实常数p、q，
使得an+1=pan+q对于任意n∈N*都成立，且有an+2=pan+1+q对于任意n∈N*都成立，
因此（an+1+an+2）=p（an+an+1）+2q对于任意n∈N*都成立，故数列{an+an+1}也是“T数列”．
对应的实常数分别为p、2q．---------------------（8分）
（Ⅲ）因为 an+an+1=3t•2n（n∈N*），
则有a2+a3=3t•22，a4+a5=3t•23，…，a2010+a2011=3t•22010，a2012+a2013=3t•22012．
故数列{an}的前2013项的和
S2013=a1+（a2+a3）+（a4+a5）+…+（a2010+a2011）+（a2012+a2013）
=2+3t•22+3t•24+…+3t•22010+3t•22012=2+3t•=2+t（22014-4）．---------（13分）