Question

如图展示了一个由区间（0，k）（其中k为一正实数）到实数集R上的映射过程：区间（0，k）中的实数m对应线段AB上的点M，如图1；将线段AB围成一个离心率为的椭圆，使两端点A、B恰好重合于椭圆的一个短轴端点，如图2；再将这个椭圆放在平面直角坐标系中，使其中心在坐标原点，长轴在x轴上，已知此时点A的坐标为（0，1），如图3，在图形变化过程中，图1中线段AM的长度对应于图3中的椭圆弧ADM的长度．图3中直线AM与直线y=-2交于点N（n，-2），则与实数m对应的实数就是n，记作f（m）=n，

现给出下列5个命题①；②函数f（m）是奇函数；③函数f（m）在（0，k）上单调递增；④函数f（m）的图象关于点对称；⑤函数时AM过椭圆的右焦点．其中所有的真命题是（ ）
A．①③⑤
B．②③④
C．②③⑤
D．③④⑤

Answer

本题利用直接法和排除法解决．由题意知，①可直接求解其函数值进行判断；
②函数f（x）的定义域为（0，k），不关于原点对称，函数f（x）是非奇非偶函数；
③当x从0→k变化时，点N逐渐右移，其对应的坐标值逐渐变大；
④由于当m=时，对应的点M是椭圆的另一短轴端点，所以f（x）的图象关于点（，0）对称；
⑤由于函数，可求N点坐标，联立A点，可求直线AM，进而即可判断此时AM是否过椭圆的右焦点．
【解析】
由题意知，①当m=时，对应的点M是椭圆的另一短轴端点，f（）=0，故①错误；
②∵函数f（x）的定义域为（0，4），关于原点不对称，∴函数f（x）不可能是奇函数，故②错误；
③当x从0→k变化时，点N逐渐右移，其对应的坐标值逐渐变大，故③正确；
④由于当m=时，对应的点M是椭圆的另一短轴端点，所以f（x）的图象关于点（，0）对称，故④正确；
⑤由于函数，则N（），故AM方程是：，
又由椭圆的右焦点坐标为（），所以函数时AM过椭圆的右焦点，故⑤正确．
故答案为：③④⑤．