Question

某高校在2013年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩共分五组，得到频率分布表如下表所示．

组号	分组	频数	频率
第一组	[160，165）	5	0.05
第二组	[165，170）	35	0.35
第三组	[170，175）	30	a
第四组	[175，180）	b	0.2
第五组	[180，185）	10	0.1

（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）为了能选出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样的方法抽取12人进入第二轮面试，求第3、4、5组中每组各抽取多少人进入第二轮的面试；考生李翔的笔试成绩为178分，但不幸没入选这100人中，那这样的筛选方法对该生而言公平吗？为什么？
（Ⅲ）在（2）的前提下，学校决定在12人中随机抽取3人接受“王教授”的面试，设第4组中被抽取参加“王教授”面试的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．

Answer

（I）利用5组频率总和为1，即可求出第3组频率；利用总的频数为100，即可得出b．
（II）第3、4、5组共60名学生，现抽取12人，因此第3组抽取的人数为：人，第4组抽取的人数为：人，第5组抽取的人数为：人．公平：因为从所有的参加自主考试的考生中随机抽取100人，每个人被抽到的概率是相同的．
（III）ξ的可能取值为0、1、2、3．利用超几何分步计算公式P（ξ=k）=即可得出分布列，进而得到数学期望．
【解析】
（Ⅰ）由题意知，5组频率总和为1，故第3组频率=1-（0.05+0.35+0.2+0.1）=0.3，
所以a=0.3．
总的频数为100，因此第4组的频数=100-（5+35+30+10）=20，即b=20．
（Ⅱ）第3、4、5组共60名学生，现抽取12人，
因此第3组抽取的人数为：人，第4组抽取的人数为：人，第5组抽取的人数为：人．
公平：因为从所有的参加自主考试的考生中随机抽取100人，
每个人被抽到的概率是相同的．
（Ⅲ）ξ的可能取值为0、1、2、3．
，
，
，
．
ξ的分布列为：

∴．