Question

长沙市某棚户区改造建筑用地平面示意图如图所示．经规划调研确定，棚改规划建筑用地区域近似地为半径是R的圆面．该圆面的内接四边形ABCD是原棚户建筑用地，测量可知边界AB=AD=4万米，BC=6万米，CD=2万米．
（1）请计算原棚户区建筑用地ABCD的面积及圆面的半径R的值；
（2）因地理条件的限制，边界AD、DC不能变更，而边界AB、BC可以调整，为了提高棚户区改造建筑用地的利用率，请在圆弧ABC上设计一点P；使得棚户区改造的新建筑用地APCD的面积最大，并求最大值．

Answer

（1）连接AC，根据余弦定理求得cos∠ABC的值，进而求得∠ABC，然后利用三角形面积公式分别求得△ABC和△ADC的面积，二者相加即可求得四边形ABCD的面积，在△ABC中，由余弦定理求得AC，进而利用正弦定理求得外接圆的半径．
（2）设AP=x，CP=y．根据余弦定理求得x和y的关系式，进而根据均值不等式求得xy的最大值，进而求得△APC的面积的最大值，与△ADC的面积相加即可求得四边形APCD面积的最大值．
【解析】
（1）因为四边形ABCD内接于圆，
所以∠ABC+∠ADC=180°，连接AC，由余弦定理：
AC2=42+62-2×4×6×cos∠ABC
=42+22-2×2×4cos∠ADC、
所以cos∠ABC=，∵∠ABC∈（0，π），
故∠ABC=60°．
S四边形ABCD=×4×6×sin60°+×2×4×sin120°
=8（万平方米）．
在△ABC中，由余弦定理：
AC2=AB2+BC2-2AB•BC•cos∠ABC
=16+36-2×4×6×．
AC=2．
由正弦定理==2R，
∴2R===，
∴R=（万米）．
（2）∵S四边形APCD=S△ADC+S△APC，
又S△ADC=AD•CD•sin120°=2，
设AP=x，CP=y．
则S△APC=xy•sin60°=xy．
又由余弦定理AC2=x2+y2-2xycos60°
=x2+y2-xy=28．
∴x2+y2-xy≥2xy-xy=xy．
∴xy≤28，当且仅当x=y时取等号
∴S四边形APCD=2+xy≤2+×28=9，
∴最大面积为9万平方米．