Question

如图，四边形ABCD为正方形，BE⊥平面ABCD，EB∥FA，FA=AB=．
（I）证明：平面AFD⊥平面AFB；
（II）求异面直线ED与CF所成角的余弦值；
（III）求直线EC与平面BCF所成角的正弦值．

Answer

（I）要证明平面AFD⊥平面AFB，可证AD⊥平面AFB，只需证明AD⊥AB（由已知易证），AD⊥FA（转化为FA⊥平面ABCD即可证得）；
（II）以B为原点，BE，BA，BC分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设EB=2，则AF=AB=1，可求得直线ED的方向向量，直线CF的方向向量为，则直线ED与CF所成的角的余弦值可转化为两方向向量的夹角余弦值求解；
（III）由（II）可得直线EC的方向向量，及，，设平面BCF的法向量为=（x，y，z），由法向量的性质可求得，则直线EC与平面BCF所成的角的正弦值即为与法向量夹角余弦值的绝对值；
（I）证明：∵四边形ABCD为正方形，∴AD⊥AB，
∵BE⊥平面ABCD，EB∥FA，
∴FA⊥平面ABCD，∵AD⊂平面ABCD，∴FA⊥AD，
∵AB，FA⊂平面AFB，AB∩FA=A，
∴AD⊥平面AFB，∵AD⊂平面AFD，∴平面AFD⊥平面AFB；
（II）以B为原点，BE，BA，BC分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设EB=2，则AF=AB=1，
故E（2，0，0），D（0，1，1），C（0，0，1），F（1，1，0），B（0，0，0），
∴直线ED的方向向量为=（-2，1，1），直线CF的方向向量为=（1，1，-1），
设直线ED与CF所成的角为θ，则cosθ=；
（III）直线EC的方向向量为=（-2，0，1），=（0，0，1），=（1，1，0），
设平面BCF的法向量为=（x，y，z），则
，故，取，则=（1，-1，0），
设直线EC与平面BCF所成的角为α，则sinα==．