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已知椭圆E:(a>b>0)过点P(3,1),其左、右焦点分别为F1,F2,且. ...

已知椭圆E:manfen5.com 满分网(a>b>0)过点P(3,1),其左、右焦点分别为F1,F2,且manfen5.com 满分网
(1)求椭圆E的方程;
(2)若M,N是直线x=5上的两个动点,且F1M⊥F2N,则以MN为直径的圆C是否过定点?请说明理由.
(1)根据题意分别写出,所以,解得c=4,再结合椭圆的定义可得a得数值,进而得到椭圆E的方程. (2)设M,N的坐标分别为(5,m),(5,n),则,所以,即mn=-9,并且得到圆C的方程为,化简可得(x-5)2+y2-(m+n)y-9=0,令y=0,可得x=8或2,即可得到答案. 【解析】 (1)设点F1,F2的坐标分别为(-c,0),(c,0)(c>0), 则, 故, 解得c=4, 所以, 所以, 所以椭圆E的方程为. (2)设M,N的坐标分别为(5,m),(5,n),则, 因为, 所以,即mn=-9, 又因为圆C的圆心为,半径为, 所以圆C的方程为, 即(x-5)2+y2-(m+n)y+mn=0,即(x-5)2+y2-(m+n)y-9=0, 令y=0,可得x=8或2, 所以圆C必过定点(8,0)和(2,0).
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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