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已知数列a,b,c是各项均为正数的等差数列,公差为d(d>0).在a,b之间和b...

已知数列a,b,c是各项均为正数的等差数列,公差为d(d>0).在a,b之间和b,c之间共插入n个实数,使得这n+3个数构成等比数列,其公比为q.
(1)求证:|q|>1;
(2)若a=1,n=1,求d的值;
(3)若插入的n个数中,有s个位于a,b之间,t个位于b,c之间,且s,t都为奇数,试比较s与t的大小,并求插入的n个数的乘积(用a,c,n表示).
(1)先由条件求出知,又有c=a+2d代入即可得|qn+2|>1,就可证明结论; (2)先求出b=1+d,c=1+2d,然后对插入的数分所在位置所存在的两种情况分别求出d的值即可; (3)先由条件求得|q|s+1>|q|t+1⇒s>t.然后再对q所存在的可为正数,也可为负数两种情况分别求出插入的n个数的乘积即可. 【解析】 (1)由题意知,c=a+2d, 又a>0,d>0,可得,(2分) 即|qn+2|>1,故|q|n+2>1,又n+2是正数,故|q|>1.(4分) (2)由a,b,c是首项为1、公差为d的等差数列,故b=1+d,c=1+2d, 若插入的这一个数位于a,b之间,则1+d=q2,1+2d=q3, 消去q可得(1+2d)2=(1+d)3,即d3-d2-d=0,其正根为.(7分) 若插入的这一个数位于b,c之间,则1+d=q,1+2d=q3, 消去q可得1+2d=(1+d)3,即d3+3d2+d=0,此方程无正根. 故所求公差. (9分) (3)由题意得,,又a>0,d>0, 故,可得,又, 故qs+1>qt+1>0,即|q|s+1>|q|t+1. 又|q|>1,故有s+1>t+1,即s>t. (12分) 设n+3个数所构成的等比数列为an,则, 由akan+4-k=a1an+3=ac(k=2,3,4,n+2), 可得(a2a3an+2)2=(a2an+2)(a3an+1)(an+1a3)(an+2a2)=(ac)n+1,(14分) 又,, 由s,t都为奇数,则q既可为正数,也可为负数, ①若q为正数,则a2a3an+2=,插入n个数的乘积为; ②若q为负数,a2,a3,an+2中共有个负数, 故a2a3,所插入的数的乘积为. 所以当n=4k-2(k∈N*)时,所插入n个数的积为; 当n=4k(k∈N*)时,所插入n个数的积为.(18分)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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