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对于定义域为D的函数y=f(x),若有常数M,使得对任意的x1∈D,存在唯一的x...

对于定义域为D的函数y=f(x),若有常数M,使得对任意的x1∈D,存在唯一的x2∈D满足等式manfen5.com 满分网,则称M为函数y=f (x)的“均值”.
(1)判断1是否为函数f(x)=2x+1(-1≤x≤1)的“均值”,请说明理由;
(2)若函数f(x)=ax2-2x(1<x<2,a为常数)存在“均值”,求实数a的取值范围;
(3)若函数f(x)是单调函数,且其值域为区间I.试探究函数f(x)的“均值”情况(是否存在、个数、大小等)与区间I之间的关系,写出你的结论(不必证明).
(1)根据均值的定义,要判断1是函数f(x)=2x+1(-1≤x≤1)的“均值”,即要验证; (2)函数f(x)=ax2-2x(1<x<2,a为常数)存在“均值”,当a=0时,f(x)=-2x(1<x<2)存在“均值”,且“均值”为-3;当a≠0时,由f(x)=ax2-2x(1<x<2)存在均值,可知对任意的x1,都有唯一的x2与之对应,从而有f(x)=ax2-2x(1<x<2)单调,从而求得实数a的取值范围; (3)根据(1),(2)的结论对于当I=(a,b)或[a,b]时,函数f(x)存在唯一的“均值”;当I为(-∞,+∞)时,函数f(x)存在无数多个“均值”,当为半开半闭区间时,函数f(x)不存在均值. 【解析】 (1)对任意的x1∈[-1,1],有-x1∈[-1,1], 当且仅当x2=-x1时,有, 故存在唯一x2∈[-1,1],满足, 所以1是函数f(x)=2x+1(-1≤x≤1)的“均值”. (2)当a=0时,f(x)=-2x(1<x<2)存在“均值”,且“均值”为-3; 当a≠0时,由f(x)=ax2-2x(1<x<2)存在均值,可知对任意的x1, 都有唯一的x2与之对应,从而有f(x)=ax2-2x(1<x<2)单调, 故有或, 解得a≥1或a<0或, 综上,a的取值范围是或a≥1. (3)①当I=(a,b)或[a,b]时,函数f(x)存在唯一的“均值”. 这时函数f(x)的“均值”为; ②当I为(-∞,+∞)时,函数f(x)存在无数多个“均值”. 这时任意实数均为函数f(x)的“均值”; ③当I=(a,+∞)或(-∞,a)或[a,+∞)或(-∞,a]或[a,b)或(a,b]时, 函数f(x)不存在“均值”. ①当且仅当I形如(a,b)、[a,b]其中之一时,函数f(x)存在唯一的“均值”. 这时函数f(x)的“均值”为; ②当且仅当I为(-∞,+∞)时,函数f(x)存在无数多个“均值”. 这时任意实数均为函数f(x)的“均值”; ③当且仅当I形如(a,+∞)、(-∞,a)、[a,+∞)、(-∞,a]、[a,b)、(a,b]其中之一时, 函数f(x)不存在“均值”.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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