Question

设定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足：①对于任意实数a，b都有f（ab）=f（a）+f（b）-5；②f（2）=4．则f（1）=    ；若a_n=f（2ⁿ）（n∈N^*），数列{a_n}的前项和为S_n，则S_n的最大值是    ．

Answer

由①得f（1）=f（1）+f（1）-5，解出即得f（1）；多次用①可求得an表达式，由表达式易判断该数列为等差数列，根据该等差数列的各项符号变化规律可求得Sn的最大值．
【解析】
由①得f（1）=f（1）+f（1）-5，即f（1）=5，
an=f（2n）=f（2×2n-1）=f（2）+f（2n-1）-5=f（2）+f（2×2n-2）-5=2f（2）+f（2n-2）-2×5=…=nf（2）-5（n-1）=4n-5（n-1）=-n+5，
易知数列{an}为首项为4，公差为-1的等差数列，
令an≥0，即-n+5≥0，解得n≤5，
所以数列{an}的前4项为正数，第5项为0，
故数列前4项、或前5项和最大，最大值为=10，
故答案为：5；10．