Question

如图，直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是菱形，且∠ABC=60°，E为棱CD的中点．
（Ⅰ）求证：A₁C∥平面AED₁；
（Ⅱ）求证：平面AED₁⊥平面CDD₁．

Answer

（I）根据线面平行的判定定理，先证线线平行，再由线线平行证明线面平行即可；
（II）先由线线垂直证线面垂直，再由线面垂直证明面面垂直即可．
证明：（Ⅰ）连接A1D，交AD1与F，连接EF，
由已知四边形ADD1A1为矩形，∴F为AD1的中点，
又E为CD的中点．∴EF为△AED1的中位线．∴A1C∥EF，
∵A1C⊄平面AED1，EF⊂平面AED1，
∴A1C∥平面AED1；
（Ⅱ）由已知DD1⊥AD，DD1⊥BD，
又∵AD∩BD=D，AD⊂平面ABCD，CD⊂平面ABCD，
∴DD1⊥平面ABCD，∵AE⊂平面ABCD，∴AE⊥DD1，
∵底面ABCD是菱形，且∠ABC=60°，E为棱CD的中点．∴AE⊥CD，
又CD∩DD1=D，CD⊂平面CDD1，DD1⊂平面CDD1，
∴AE⊥平面CDD1C1，
∵AE⊂平面AED1，
∴平面AED1⊥平面CDD1．