Question

已知函数f（x）=x³-（1+b）x²+bx，b∈R．
（Ⅰ）若函数f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线x+y-3=0平行，求b的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求f（x）在区间[0，3]上的最值．

Answer

（Ⅰ）求导数f′（x），由函数f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线x+y-3=0平行，得f′（1）=-1，解出即得b值；
（Ⅱ）由（Ⅰ）写出f（x），f′（x），解方程f′（x）=0，在区间[0，3]上，列出x，f′（x），f（x）的变化情况表，由表可求得函数的最值；
【解析】
（Ⅰ）f′（x）=3x2-2（1+b）x+b，
∵函数f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线x+y-3=0平行，
∴f′（1）=3-2（1+b）+b=-1，解得b=2．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=x3-3x2+2x，f′（x）=3x2-6x+2，
令f′（x）=3x2-6x+2=0，解得，．
在区间[0，3]上，x，f′（x），f（x）的变化情况如下：
x （0，x1） x1 （x1，x2） x2 （x2，3） 3
f′（x） + - +
f（x） 递增 递减 - 递增 6

所以当x=3时，f（x）max=6；当x=1+时，f（x）min=-．