Question

已知椭圆C：（a＞b＞0）的长轴长是4，离心率为．
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）设过点P（0，-2）的直线l交椭圆于M，N两点，且M，N不与椭圆的顶点重合，若以MN为直径的圆过椭圆C的右顶点A，求直线l的方程．

Answer

（Ⅰ）利用椭圆的长轴长是4，离心率为，求出几何量，即可求椭圆方程；
（Ⅱ）设出直线方程，代入椭圆方程，利用韦达定理，及以MN为直径的圆过椭圆C的右顶点A，求出k，即可求得直线l的方程．
【解析】
（Ⅰ）由已知2a=4，．解得a=2，c=1，所以b2=a2-c2=3，
故椭圆的方程为．…（5分）
（Ⅱ）由M，N不与椭圆的顶点重合，设直线l的方程为y=kx-2，代入椭圆方程可得（4k2+3）x2-16kx+4=0，
由△=（-16k）2-16（4k2+3）=12k2-3＞0，得或              …（8分）
设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=，y1y2=
由（Ⅰ）得椭圆C的右顶点A（2，0），
因为以MN为直径的圆过椭圆C的右顶点A，
所以kAMkAN=-1，
∴=-1，
∴y1y2+x1x2-2（x1+x2）+4=0，
∴=0，
∴k2-8k+7=0，解得k=7或k=1
当k=1时，l：y=x-2，直线过椭圆C的右顶点A（2，0），舍去；
当k=7时，l：y=7x-2．
综上可知，直线l的方程是y=7x-2      …（14分）