Question

数列{a_n}中，a₁=1，前n项的和是S_n，且S_n=2a_n-1，n∈N^*．
（I）求出 a₂，a₃，a₄；
（II）求数列{a_n}的通项公式；
（III）求证：S_nS_n+2．

Answer

（I）利用数列递推式，代入计算，可求a2，a3，a4；
（II）再写一式，两式相减，即可求数列{an}的通项公式；
（III）求出前n项和，代入计算，可以证得结论．
（I）【解析】
∵a1=1，Sn=2an-1，
∴当n=2时，a1+a2=2a2-1，∴a2=2
当n=3时，a1+a2+a3=2a3-1，∴a3=4
当n=4时，a1+a2+a3+a4=2a4-1，∴a4=8      …（3分）
（II）【解析】
∵Sn=2an-1，n∈N*．         （1）
∴Sn-1=2an-1-1，n≥2，n∈N*．    （2）
（1）-（2）得an=2an-1，
∴数列{an}是以1为首项，2为公比的等比数列，
∴an=2n-1…（8分）
（III）证明：∵Sn=2an-1=2n-1，
∴SnSn+2=（2n-1）•（2n+2-1）=22n+2-2n+2-2n+1，=22n+2-2n+2+1
∵2n＞0
∴SnSn+2．…（13分）