Question

如图，四边形ABCD为正方形，EA⊥平面ABCD，EF∥AB，AB=4，AE=2，EF=1．
（Ⅰ）求证：BC⊥AF；
（Ⅱ）若点M在线段AC上，且满足，求证：EM∥平面FBC；
（Ⅲ）试判断直线AF与平面EBC是否垂直？若垂直，请给出证明；若不垂直，请说明理由．

Answer

（I）欲证BC⊥AF，转化为证明直线BC⊥平面EABF，再转化为EA⊥平面ABCD即可；
（II）过M作MN⊥BC，垂足为N，连结FN，则MN∥AB，又可得EF∥MN，从而四边形EFNM为平行四边形，所以EM∥FN，最后根据线面平行的判定定理，即可得到EM∥平面FBC．
（Ⅲ）判断结论是：直线AF垂直于平面EBC．由（Ⅰ）可知，AF⊥BC，再利用平面几何知识得出EB⊥AF，最后利用直线与平面垂直的判定定理即可得出AF⊥平面EBC．
【解析】
（Ⅰ）因为EF∥AB，所以EF与AB确定平面EABF，
因为EA⊥平面ABCD，所以EA⊥BC．…（2分）
由已知得AB⊥BC且EA∩AB=A，
所以BC⊥平面EABF．…（3分）
又AF⊂平面EABF，
所以BC⊥AF．…（4分）
（Ⅱ）过M作MN⊥BC，垂足为N，连结FN，则MN∥AB．…（5分）
又，所以．
又EF∥AB且，所以EF∥MN．…（6分）
且EF=MN，所以四边形EFNM为平行四边形．…（7分）
所以EM∥FN．
又FN⊂平面FBC，EM⊄平面FBC，
所以EM∥平面FBC．…（9分）
（Ⅲ）直线AF垂直于平面EBC．…（10分）
证明如下：
由（Ⅰ）可知，AF⊥BC．
在四边形ABFE中，AB=4，AE=2，EF=1，∠BAE=∠AEF=90°，
所以，则∠EBA=∠FAE．
设AF∩BE=P，因为∠PAE+∠PAB=90°，故∠PBA+∠PAB=90°
则∠APB=90°，即EB⊥AF．…（12分）
又因为EB∩BC=B，所以AF⊥平面EBC．…（13分）