Question

设函数．
（1）已知曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线l的斜率为2-3a，求实数a的值；
（2）讨论函数f（x）的单调性；
（3）在（1）的条件下，求证：对于定义域内的任意一个x，都有f（x）≥3-x．

Answer

（1）由，知f（x）的定义域为{x|x＞0}，，再由曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线l的斜率为2-3a，知f′（1）=a-2a2=2-3a，由此能求出a．
（2）由=，利用a的取值范围进行分类讨论，能够得到函数f（x）的单调性．
（3）由（1）知，f（x）=lnx+，设g（x）=f（x）-（3-x），则g（x）=lnx++x-3，==，x＞0．列表讨论，能够证明对于定义域内的任意一个x，都有f（x）≥3-x．
【解析】
（1）∵，
∴f（x）的定义域为{x|x＞0}，
，
∵曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线l的斜率为2-3a，
∴f′（1）=a-2a2=2-3a，
解得a=1．
（2）=，
①当a＜0时，∵x＞0，∴x-2a＞0，a（x-2a）＜0，
∴f′（x）＜0，故函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；
②当a＞0时，若0＜x＜2a，则a（x-2a）＜0，f′（x）＜0，
函数f（x）在（0，2a）上单调递减；
若x＞2a，则a（x-2a）＞0，f′（x）＞0，函数在（2a，+∞）上单调递增．
综上所述，当a＜0时，函数f（x）在（0，+∞）上单调递减；
当a＞0时，函数f（x）在（0，2a）上单调递减，在（2a，+∞）上单调递增．
（3）由（1）知，f（x）=lnx+，
设g（x）=f（x）-（3-x），则g（x）=lnx++x-3，
∴==，x＞0
当x变化时，g′（x），g（x）的变化如下表：

 x  （0，1）  1 （1，+∞） 
 g′（x） -  0 +
 g（x） ↓  极小值 ↑

∴x=1是g（x）在（0，+∞）上的唯一极值点，且是极小值点，
从而也是g（x）的最小值点，
∴g（x）≥g（1）=ln1+2+1-3=0，
∴g（x）=f（x）-（3-x）≥0，
∴对于定义域内的任意一个x，都有f（x）≥3-x．