Question

在平面直角坐标系xOy中，点E到两点F₁（-1，0），F₂（1，0）的距离之和为，设点E的轨迹为曲线C．
（1）写出C的方程；
（2）设过点F₂（1，0）的斜率为k（k≠0）的直线l与曲线C交于不同的两点M，N，点P在y轴上，且|PM|=|PN|，求点P纵坐标的取值范围．

Answer

（1）由椭圆的定义可知，点E的轨迹C是以两定点F1（-1，0）和F2（1，0）为焦点，长半轴长为2的椭圆，由此可得曲线C的方程；
（2）先写出直线MN的方程为y=k（x-1），联立直线与椭圆方程，设M（x1，y1），N（x2，y2），MN的中点E（x，y），根据方程的根与系数的关系可求x1+x2，y1+y2=k（x1+x2-2），然后由PM=PN且P在y轴上，设p （0，b），利用两点间的距离公式可求b与k的关系，然后结合△＞0可求b的范围
【解析】
（1）由椭圆的定义可知，点E的轨迹是以F1（-1，0），F2（1，0）为焦点，以2为长轴的椭圆
∵c=1，a=
∴b=1
∴C的方程为
（2）由题意可得，直线MN的方程为y=k（x-1）
联立方程可得，（1+2k2）x2-4k2x+2（k2-1）=0
设M（x1，y1），N（x2，y2），MN的中点E（x，y）
则x1+x2=，y1+y2=k（x1+x2-2）=
且△=16k4-8（1+2k2）（k2-1）＞0
即1+k2＞0
∵PM=PN且P在y轴上，设p （0，b）
∴
整理可得，（x1-x2）（x1+x2）=（y2-y1）（y2+y1-2b）
∴x1+x2=k（y1+y2-2b）
代人可得，
∴b=
∴2bk2+3k+b=0
∴△=9-8b2＞0
∴且b≠0