Question

已知数列A_n：a₁，a₂，…，a_n，满足a₁=a_n=0，且当2≤k≤n（k∈N^*）时，．令S（A_n）=a₁+a₂+…+a_n．
（Ⅰ）写出S（A₅）的所有可能取值；
（Ⅱ）求S（A_n）的最大值．

Answer

（Ⅰ）根据新定义，分类，即可求S（A5）的所有可能取值；
（Ⅱ）由，可设ak-ak-1=ck-1，可得an=a1+c1+c2+…+cn-1，根据a1=an=0，可得c1+c2+…+cn-1=0，且n为奇数，c1，c2，…，cn-1是由个1和个-1构成的数列，由此可得当c1，c2，…，cn-1的前项取1，后项取-1时S（An）最大．
【解析】
（Ⅰ）由题设，满足条件的数列A5的所有可能情况有：
（1）0，1，2，1，0．此时S（A5）=4；
（2）0，1，0，1，0．此时S（A5）=2；
（3）0，1，0，-1，0．此时S（A5）=0；
（4）0，-1，-2，-1，0．此时S（A5）=-4；
（5）0，-1，0，1，0．此时S（A5）=0；
（6）0，-1，0，-1，0．此时S（A5）=-2．
所以，S（A5）的所有可能取值为：-4，-2，0，2，4．．…（5分）
（Ⅱ）由，可设ak-ak-1=ck-1，则ck-1=1或ck-1=-1（2≤k≤n，k∈N*），a2-a1=c1，a3-a2=c2，
…an-an-1=cn-1，
所以an=a1+c1+c2+…+cn-1．                               …（7分）
因为a1=an=0，所以c1+c2+…+cn-1=0，且n为奇数，c1，c2，…，cn-1是由个1和个-1构成的数列．
所以S（An）=c1+（c1+c2）+…+（c1+c2+…+cn-1）=（n-1）c1+（n-2）c2+…+2cn-2+cn-1．
则当c1，c2，…，cn-1的前项取1，后项取-1时S（An）最大，
此时S（An）==．．…（10分）
证明如下：
假设c1，c2，…，cn-1的前项中恰有t项取-1，则c1，c2，…，cn-1的后项中恰有t项取1，其中，，，i=1，2，…，t．
所以S（An）==-2[（n-m1）+（n-m2）+…+（n-mt）]+2[（n-n1）+（n-n2）+…+（n-nt）]=．
所以S（An）的最大值为．．…（13分）