Question

已知f（x）=的反函数为f^-1（x），则使f^-1（x）＜x-2成立的x的取值范围是    ．

Answer

由，（x＞0），解得，再将x与y互换得到y=23-x，即可得到f（x）=的反函数为f-1（x）=23-x（x∈R）．令g（x）=23-x-x+2，由指数函数及复合函数的单调性判断方法、一次函数的单调性可得g（x）=23-x-x+2在R上单调递减，又g（3）=0，即可得到不等式的取值范围．
【解析】
由，（x＞0），解得，将x与y互换得到y=23-x，
∴f（x）=的反函数为f-1（x）=23-x（x∈R）．
由f-1（x）＜x-2，即23-x＜x-2．
令g（x）=23-x-x+2，
由指数函数及复合函数的单调性判断方法可知：y=23-x在R上单调递减，
由一次函数的单调性可知：y=-x+2在R上单调递减，
∴g（x）=23-x-x+2在R上单调递减，
而g（3）=2-3+2=0，
∴当x＞3时，g（x）＜g（3）=0，即23-x＜x-2．
因此使f-1（x）＜x-2成立的x的取值范围是（3，+∞）．
故答案为（3，+∞）．