Question

如图，已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面，E、F分别为AB、PD的中点，过AE、AF的平面交PC于点H，二面角P-CD-B为45°，PA=a．
（Ⅰ）求证：AF∥EH；
（Ⅱ）求证：平面PCE⊥平面PCD； 
（Ⅲ）求多面体ECDAHF的体积．

Answer

（Ⅰ）利用线面平行的判定，证明EA∥平面PCD，再证明四边形EAFH是平行四边形，即可证明AF∥EH；
（Ⅱ）证明AF⊥平面PCD，可得EH⊥平面PCD，利用面面垂直的判定，可以证明平面PCE⊥平面PCD； 
（Ⅲ）利用V多面体ECDAHF=VP-AECD-VP-EAFH，可求多面体ECDAHF的体积．
（Ⅰ）证明：∵EA∥CD，CD⊂平面PCD，EA⊄平面PCD，
∴EA∥平面PCD．
又平面EAFH∩平面PCD=HF，且EA⊂平面EAFH，
∴EA∥HF．
∴HF∥CD．
∵E、F分别是AB、PD的中点，
∴EA∥HF∥CD，EA=HF=CD．
∴四边形EAFH是平行四边形．
∴AF∥EH．…（5分）
（Ⅱ）证明：∵PA⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD是PD在平面ABCD内的射影，
∴PD⊥CD．
∴∠PDA是二面角P-CD-B的平面角，即∠PDA=45°．
∴△PAD是等腰Rt△，又F是斜边PD上的中点，
∴AF⊥PD．
∵AF在平面ABCD内的射影AD⊥CD，
∴AF⊥CD，而PD∩CD=D．
∴AF⊥平面PCD．
∵EH∥AF，∴EH⊥平面PCD．
又EH⊂平面PCE，∴平面PCE上平面PCD．…（9分）
（Ⅲ）【解析】
由上面的证明可知，PF⊥平面EAFH，四边形EAFH是矩形，
∵PA=AD=a，
∴．
∴．
=
∴V多面体ECDAHF=VP-AECD-VP-EAFH=．…（13分）