Question

已知函数f（x）是定义域为R的奇函数，且它的图象关于直线x=1对称．
（Ⅰ）求f（0）的值；
（Ⅱ）证明函数f（x）是以4为周期的周期函数；
（Ⅲ）若f（X）=x（0＜x≤1），求x∈[-1，3]时，函数f（x）的解析式，求x∈R时，函数f（x）的解析式，并画出满足条件的函数f（x）至少一个周期的图象．

Answer

（I）由函数f（x）是奇函数，所以f（-x）=-f（x），令x=0 可得f（0）=0．
（II）根据f（-x）=-f（x），再由函数f（x）的图象关于直线x=1对称，f（-x）=f（2+x），可得f（2+x）=-f（x），从而得到 f（4+x）=f（x），从而结论成立．
（III）由条件求出当-1≤x≤1时f（x）=x，当1＜x＜3时，则-1＜2-x＜1，可得f（2-x）=2-x，而函数f（x）的图象关于直线x=1对称，所以f（2-x）=f（x），即f（x）=2-x．从而得到f（x）在一个周期内的解析式，从而得到f（x）在定义域内的解析式，从而画出函数的图象．
【解析】
（Ⅰ）∵函数f（x）是奇函数，
∴f（-x）=-f（x）．
令x=0，f（0）=-f（0），2f（0）=0，
∴f（0）=0．…（3分）
（Ⅱ）证：∵函数f（x）是奇函数，
∴f（x）=-f（-x）…（1）
又f（x）关于直线x=1对称，
∴f（1+x）=f（1-x）．
在（1）中的x换成x+1，即f（1+x）=-f（-1-x），
即f（1-x）=-f（-1-x）…（2）
在（2）中，将1-x换成x，即f（x）=-f（-2+x）…（3）
在（3）中，将x换成2+x，即f（2+x）=-f（x）…（4）
由（3）、（4）得：f（-2+x）=f（2+x）．
再将x-2换成x，得：f（x）=f（x+4）．
∴f（x）是以4为周期的周期函数．…（8分）
（Ⅲ）设-1≤x＜0时，则0＜-x≤1，所以f（-x）=-x．
又f（-x）=-f（x），所以f（x）=x，又f（0）=0，
所以，当-1≤x≤1时，f（x）=x．
当1＜x＜3时，-3＜-x＜-1，则-1＜2-x＜1．
所以f（2-x）=2-x，而函数f（x）的图象关于直线x=1对称，
所以f（2-x）=f（x），即f（x）=2-x．
所以x∈[-1，3]时，函数f（x）的解析式为：
再由f（x）是以4为一个周期的周期函数，
从而有x∈R时，函数f（x）的解析式为：，
函数f（x）一个周期的图象如图所示．…（13分）