Question

一个同心圆形花坛，分为两部分，中间小圆部分种植草坪和绿色灌木，周围的圆环分为n（n≥3，n∈N）等份，种植红、黄、蓝三色不同的花，要求相邻两部分种植不同颜色的花．
（Ⅰ）如图1，圆环分成的3等份为a₁，a₂，a₃，有多少不同的种植方法？如图2，圆环分成的4等份为a₁，a₂，a₃，a₄，有多少不同的种植方法？
（Ⅱ）如图3，圆环分成的n等份为a₁，a₂，a₃，…，a_n时，有不同的种植方法为S（n）种，试写出S（n）与S（n-1）满足的关系式，并求出S（n）的值．

Answer

（1）遇到这种需要找规律的问题，首先做比较简单的情况，看图一先对a1部分种植，有3种不同的种法，再对a2、a3种植，a2、a3与a1不同颜色，a2、a3也不同，由分步计数原理得到结果．
（2）由题意知圆环分为n等份，做法同前两种情况类似，对a1有3种不同的种法，对a2、a3、an都有两种不同的种法，但这样的种法只能保证a1与ai（i=2、3、n-1）不同颜色，但不能保证a1与an不同颜色．在这种情况下要分类，一类是an与a1不同色的种法，另一类是an与a1同色的种法，根据分类计数原理得到结果．
【解析】
（1）如图1，先对a1部分种植，有3种不同的种法，再对a2、a3种植，
∵a2、a3与a1不同颜色，a2、a3也不同．
∴S（3）=3×2=6（种）
如图2，S（4）=3×2×2×2-S（3）=18（种）
（2）如图3，圆环分为n等份，对a1有3种不同的种法，对a2、a3、an都有两种不同的种法，
但这样的种法只能保证a1与ai（i=2、3、n-1）不同颜色，但不能保证a1与an不同颜色．
于是一类是an与a1不同色的种法，这是符合要求的种法，记为S（n）（n≥3）种．
另一类是an与a1同色的种法，这时可以把an与a1看成一部分，这样的种法相当于对n-1部分符合要求的种法，记为S（n-1）．
共有3×2n-1种种法．
这样就有S（n）+S（n-1）=3×2n-1．
即S（n）-2n=-[S（n-1）-2n-1]，则数列{S（n）-2n}（n≥3）是首项为S（3）-23公比为-1的等比数列．
则S（n）-2n=[S（3）-23]（-1）n-3（n≥3）．
由（1）知：S（3）=6
∴S（n）-2n+（6-8）（-1）n-3．
∴S（n）=2n-2•（-1）n-3．