Question

如图．四棱锥P-ABCD的底面是矩形，PA⊥底面ABCD．PA=AD=1，AB=．M，N分别为AB、PC的中点．
（I）求证：MN∥平面PAD；
（II）求证：MN⊥平面PCD；
（III） 求平面DMN与平面DPA所成锐二面角的度数．

Answer

（Ⅰ）要证明线面平行，需要设法在平面PAD内找到与MN平行的直线，因为给出的M，N分别是DC和PB的中点，所以可取CD的中点，通过证明两个平面平行得到线面平行；
（Ⅱ）证明MN⊥平面PCD，可利用线面垂直的判定定理，容易证明MN与CD垂直，再通过解三角形得到PM=MC，从而证得MN垂直于PC，直接由线面垂直的判定定理得到结论；
（Ⅲ）以A为坐标原点建立空间坐标系，利用平面法向量所称的角求解二面角的平面角．
（Ⅰ）证明：如图，
取CD的中点E，连结ME，连结AC，ME∩AC=F，所以F为AC的中点，连结NF，
∵M、E分别为AB、CD的中点，∴ME∥AD，AD⊂面PAD，
∴ME∥面PAD，F、N分别为AC、PC的中点，∴FN∥PA，PA⊂面PAD，∴FN∥面PAD．
又ME∩FN=F，∴面MEN∥面PAD．∴MN∥平面PAD； 
（Ⅱ）证明：∵PA⊥底面ABCD，FN∥PA，∴FN⊥底面ABCD，则FN⊥CD，又CD⊥ME，
∴CD⊥面MEN，∴CD⊥MN．
在Rt△PAM和Rt△MBC中，由勾股定理可得PM=MC，又N是PC的中点，∴MN⊥PC，
又PC∩CD=C．∴MN⊥平面PCD；
（Ⅲ）【解析】
以A为坐标原点，以AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．
则，D（0，1，0），．
，．
设平面DMN的一个法向量为．
由，得，取z=-1，得y=1，x=，
∴．
又平面DPA的一个法向量．
∴平面DMN与平面DPA所成锐二面角的余弦值．
∴平面DMN与平面DPA所成锐二面角的度数为45°．