Question

已知函数，a∈R．
（I）证明当a＜0时，∀x∈（0，+∞），总有f（x+1）＞f（x）；
（II）若f（x）存在极值点，求a的取值范围．

Answer

（I）求导函数，确定函数当a＜0时，x∈（0，+∞）时的单调性，即可证明f（x+1）＞f（x）；
（II）利用f（x）存在极值点，结合函数的定义域，可得方程，即可求a的取值范围．
（I）证明：求导函数可得f′（x）=
∵a＜0时，x∈（0，+∞），∴f′（x）＞0
∴f（x）在（0，+∞）上单调递增
∵x+1＞x＞0
∴f（x+1）＞f（x）；
（II）【解析】
令f′（x）=0，可得=0（）
∵f（x）存在极值点，
∴=0在时成立
∴
x=0时，a=0，f（x）=ln（1+2x），函数不存在极值点；
x≠0时，=
∵，∴
∴＞2
∴a＞2．