Question

如图：四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠ACB=90°，PA⊥平面ABCD，PA=BC=1，，F是BC的中点．
（Ⅰ） 求证：DA⊥平面PAC；
（Ⅱ）试在线段PD上确定一点G，使CG∥平面PAF；
（Ⅲ）求平面PAF与平面PCD所成锐二面角的余弦值．

Answer

（Ⅰ）利用平行四边形的性质和平行线的性质可得AD⊥AC，再利用线面垂直的性质可得PA⊥AC，利用线面垂直的判定定理即可证明；
（Ⅱ）分别以AC，AD，AP为x、y、z轴建立空间直角坐标系，求出平面PAF法向量，要CG∥平面PAF，可得，即可求得结论；
（Ⅲ）确定平面PCD法向量，利用向量的夹角公式，即可求平面PAF与平面PCD所成锐二面角的余弦值．
（Ⅰ） 证明：∵四边形是平行四边形，∴∠ACB=∠DAC=90°，
∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥DA，
又AC⊥DA，AC∩PA=A，∴DA⊥平面PAC．
（Ⅱ）【解析】
分别以AC，AD，AP为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则
设G为PD上一点，使CG∥平面PAF，
令，
设平面PAF法向量为
∵
∴
∴可取平面PAF法向量，
要CG∥平面PAF，∴，解得．
∴G为PD中点时，CG∥平面PAF．
（Ⅲ）【解析】
平面PCD法向量为
∵
∴
∴可取平面PCD法向量，
∴
∴所求二面角的余弦值为．