Question

已知函数f（x）=x-lnx，g（x）=x+，（其中a＞0）．
（Ⅰ）求曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）若x=1是函数h（x）=f（x）+g（x）的极值点，求实数a的值；
（Ⅲ）若对任意的x₁，x₂∈[1，e]，（e为自然对数的底数，e≈2.718）都有f（x₁）≤g（x₂），求实数a的取值范围．

Answer

（Ⅰ）求出切点坐标，切线斜率f′（1），由点斜式即可求得切线方程；
（Ⅱ）写出h（x）及其定义域，求出h′（x），由题意得h′（1）=0，解出a值再进行验证即可；
（Ⅲ）对任意的x1，x2∈[1，e]都有f（x1）≤g（x2）成立，等价于对任意的x∈[1，e]都有fmax（x）≤gmin（x）成立，利用导数易判断f（x）在[1，e]上单调，从而可求得其最大值；求出导数g′（x）=，分0＜a≤1，1＜a＜e，a≥e三种情况进行讨论可得gmin（x），然后解不等式fmax（x）≤gmin（x）可求得a的取值范围；
【解析】
（Ⅰ）f（1）=1-ln1=1，f′（x）=1-，则f′（1）=0，即切线斜率为0，
故曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程为y-1=0•（x-1），即y=1；
（Ⅱ）h（x）=f（x）+g（x）=x-lnx+x+=2x+-lnx，定义域为（0，+∞），
∴，
令h′（1）=0，解得a2=1，
又a＞0，∴a=1，
经验证a=1符合条件．
（Ⅲ）对任意的x1，x2∈[1，e]都有f（x1）≤g（x2）成立，等价于对任意的x∈[1，e]都有fmax（x）≤gmin（x）成立，
当x∈[1，e]时，，∴f（x）在[1，e]上单调递增，fmax（x）=f（e）=e-1．
∵，x∈[1，e]，a＞0，
∴（1）若0＜a≤1，g′（x）≥0，在[1，e]上单调递增，
∴，
∴1+a2≥e-1，解得．
（2）若1＜a＜e，
当1≤x＜a时，则，当a≤x≤e时，则，
∴g（x）在[1，a）上递减，在[a，e]上递增，gmin（x）=g（a）=2a≥fmax（x）=e-1，解得，
又1＜a＜e，∴a∈（1，e）
（3）当a≥e时，，∴g（x）在[1，e]上递减，
，∴a2≥-e恒成立．
综上所述．