Question

已知动圆过点M（2，0），且被y轴截得的线段长为4，记动圆圆心的轨迹为曲线C．
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）过点M的直线交曲线C于A，B两点，若在x轴上存在定点P（a，0），使PM平分∠APB，求P点的坐标．

Answer

（I）设动圆圆心的坐标为（x，y），利用垂径定理和两点间的距离公式即可得到 22+|x|2=（x-2）2+y2，化简即可．
（II）解法1：设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为x=my+2．将直线AB的方程与曲线C的方程联立，消去x得：y2-4my-8=0．
得到根与系数的关系y1+y2=4m，y1y2=-8．由PM平分∠APB，则直线PA，PB的倾斜角互补，可得kPA+kPB=0．
利用斜率计算公式可得 ．将 x1=my1+2，x2=my2+2代入上式，整理得 ，
即 2my1y2+（2-a）（y1+y2）=0．把 y1+y2=4m，y1y2=-8代入上式，（a+2）•m=0对任意实数m都成立，即可得到a的值；
解法2：设A（x1，y1），B（x2，y2），①当过点M（2，0）的直线斜率不存在，
则lAB：x=2，A，B两点关于x轴对称，x轴上任意一点P（a，0）（a≠2）均满足PM平分∠APB，不合题意．
②当过点M（2，0）的斜率k存在时（k≠0），设lAB：y=k（x-2），与抛物线方程联立，消去y得k2x2-4（k2+1）x+4k2=0，△=32k2+16＞0，得到根与系数的关系，x1x2=4；由已知PM平分∠APB，则直线PA，PB的倾斜角互补，可得kPA+kPB=0．以下类比解法1．
【解析】
（Ⅰ）设动圆圆心的坐标为（x，y）．
依题意，有 22+|x|2=（x-2）2+y2，化简得 y2=4x．
所以动圆圆心的轨迹方程为y2=4x．
（Ⅱ）解法1：设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为x=my+2．
将直线AB的方程与曲线C的方程联立，消去x得：y2-4my-8=0．
所以y1+y2=4m，y1y2=-8．
若PM平分∠APB，则直线PA，PB的倾斜角互补，所以kPA+kPB=0．
∵P（a，0），则有 ．
将 x1=my1+2，x2=my2+2代入上式，整理得 ，
所以 2my1y2+（2-a）（y1+y2）=0．
将 y1+y2=4m，y1y2=-8代入上式，
得 （a+2）•m=0对任意实数m都成立，
所以a=-2．故定点P的坐标为（-2，0）．
解法2：设A（x1，y1），B（x2，y2），
当过点M（2，0）的直线斜率不存在，
则lAB：x=2，A，B两点关于x轴对称，x轴上任意一点P（a，0）（a≠2）均满足PM平分∠APB，不合题意．
当过点M（2，0）的斜率k存在时（k≠0），设lAB：y=k（x-2），
联立，消去y得k2x2-4（k2+1）x+4k2=0，
△=32k2+16＞0，，x1x2=4，
∵PM平分∠APB，则直线PA，PB的倾斜角互补，∴kPA+kPB=0．
∵P（a，0），（a≠2），则有 ．
将y1=k（x1-2）y2=k（x2-2）代入上式，
整理得 ，
∴k（x1-2）（x2-a）+k（x2-2）（x1-a）=0
整理得2x1x2-（x1+x2）（2+a）+4a=0，
将，x1x2=4代入化简得a=-2，
故定点P的坐标为（-2，0）．