Question

四棱锥P-ABCD的底面是边长为的正方形，侧棱长都等于，则经过该棱锥五个顶点的球面面积为    ．

Answer

设AC、BD的交点为F，连接PF，则PF是四棱锥P-ABCD的高且四棱锥P-ABCD的外接球球心O在PF上．由正四棱锥的性质，结合题中数据算出AF=4且PF=8，Rt△AOF中根据勾股定理，得R2=42+（8-R）2，解之得R=5，利用球的表面积公式即可算出经过该棱锥五个顶点的球面面积．
【解析】
设AC、BD的交点为F，连接PF，则PF是四棱锥P-ABCD的高，
根据球的对称性可得四棱锥P-ABCD的外接球球心O在直线PF上，
∵正方形ABCD边长为，∴AF=AB=4
Rt△PAF中，PF==8
连接OA，设OA=0P=R，则
Rt△AOF中AO2=AF2+OF2，即R2=42+（8-R）2
解之得R=5
∴四棱锥P-ABCD的外接球表面积为S=4πR2=4π×52=100π
故答案为：100π