Question

在数列{a_n}中，a₁=1，a₂=2，a_n+2等于a_n+a_n+1除以3的余数，则{a_n}的前89项的和等于    ．

Answer

利用已知a1=1，a2=2，an+2等于an+an+1除以3的余数，即可得出a3=0，a4=2，a5=2，a6=1，a7=0，a8=1，…，其周期为8，故S89=S8×11+a89=S8×11+a1
【解析】
∵a1=1，a2=2，an+2等于an+an+1除以3的余数，a1+a2=1+2=3=3×1，∴a3=0．
∴a2+a3=2+0=2=3×0+2，∴a4=2；
∴a3+a4=0+2=2=3×0+2，∴a5=2；
∴a4+a5=2+2=4=3×1+1，∴a6=1；
∴a5+a6=2+1=3=3×1+0，∴a7=0；
∴a6+a7=1=3×0+1，∴a8=1；
∴a7+a8=0+1=1=3×0+1，∴a9=1；
∴a8+a9=1+1=2=3×0+2，∴a10=2；
…，
可以看出：从a9开始周期性的出现1，2，0，2，2，1，0，1，…．
故S89=S8×11+a89=（1+2+0+2+2+1+0+1）×11+a1=100．
故答案为100．