Question

如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=BC，∠ABC=120°，Q是AC上的点，AB₁∥平面BC₁Q．
（Ⅰ）确定点Q在AC上的位置；
（Ⅱ）若QC₁与平面BB₁C₁C所成角的正弦值为，求二面角Q-BC₁-C的余弦值．

Answer

（I）连接B1C交BC1于点P，连接PQ．利用线面平行的性质定理及直线AB1∥平面BC1Q，可得AB1∥PQ．再利用线线平行的性质定理及P为B1C的中点即可得到Q为AC的中点．
（II）如图建立空间直角坐标系，设AB=BC=a，BB1=b，利用斜线的方向向量与法向量的夹角及两个平面的法向量的夹角即可得出．
【解析】
（Ⅰ）连接B1C交BC1于点P，连接PQ．
因为直线AB1∥平面BC1Q，AB1⊂平面AB1C，平面BC1Q∩平面AB1C=PQ，
所以AB1∥PQ．
因为P为B1C的中点，且AB1∥PQ，
所以，Q为AC的中点．
（II）如图建立空间直角坐标系，设AB=BC=a，BB1=b，则平面BC1C的法向量．
B（0，0，0），C1（0，a，b），，
∴，=．
∵QC1与平面BC1C所成角的正弦值为，
∴==，化为3a2=4b2，取．
设平面C1BQ的法向量为，则，即，及．
令x=1，解得，z=2，∴．
∴===．
故二面角Q-BC1-C的余弦值为．