Question

已知函数R
（Ⅰ）若f（x）在（0，+∞）单调递减，求a的最小值；
（Ⅱ）若f（x）有两个极值点，求a的取值范围．

Answer

（Ⅰ）求导函数，利用f（x）在（0，+∞）单调递减，可得不等式，分离参数，求最值，即可求a的最小值；
（Ⅱ）分类讨论，利用导数确定函数的单调性，利用f（x）有两个极值点，即可求a的取值范围．
【解析】
（Ⅰ）求导函数可得f′（x）=lnx+1-ax．
f（x）在（0，+∞）单调递减当且仅当f′（x）≤0，即∀x∈（0，+∞），a≥．①
设g（x）=，则g′（x）=-．
当x∈（0，1）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增；
当x∈（1，+∞）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减．
所以g（x）≤g（1）=1，故a的最小值为1．…（5分）
（Ⅱ）①由（Ⅰ）知，当a≥1时，f（x）没有极值点．
②当a≤0时，f′（x）单调递增，f′（x）至多有一个零点，f（x）不可能有两个极值点．…（7分）
③当0＜a＜1时，设h（x）=lnx+1-ax，则h′（x）=-a．
当x∈（0，）时，h′（x）＞0，h（x）单调递增；
当x∈（，+∞）时，h′（x）＜0，h（x）单调递减．…（9分）
因为f′（）=h（）=ln＞0，f′（）=h（）=-＜0，
所以f（x）在区间（，）有一极小值点x1．…（10分）
由（Ⅰ）中的①式，有1≥，即lnx≤x-1，则ln≤-1，
故f′（）=h（）=ln2+2ln+1-≤ln2+2（-1）+1-=ln2-1＜0．
所以f（x）在区间（，）有一极大值点x2．
综上所述，a的取值范围是（0，1）．…（12分）