Question

已知动圆C经过点（0，m）（m＞0），且与直线y=-m相切，圆C被x轴截得弦长的最小值为1．记该圆圆心的轨迹为E．
（Ⅰ）求曲线E的方程；
（Ⅱ）是否存在曲线C与曲线E的一个公共点，使它们在该点处有相同的切线？若存在，求出切线方程；若不存在，说明理由．

Answer

（Ⅰ）先设出曲线E的方程，再确定圆的方程，利用圆C被x轴截得弦长的最小值为1，即可求曲线E的方程；
（Ⅱ）假设存在题设的公共点B，代入圆的方程并整理，求导确定切线斜率，利用圆切线的性质可得方程，联立方程，即可求出切线方程．
【解析】
（Ⅰ）依题意，曲线E是以（0，m）为焦点，以y=-m为准线的抛物线，所以曲线E的方程为x2=4my．…（2分）
设动圆圆心为A（a，），则圆C方程为（x-a）2+（y-）2=（+m）2，
令y=0，得（x-a）2=+m2．
当a=0时，圆C被x轴截得弦长取得最小值2m，于是m=，故曲线E的方程为x2=2y．…（5分）
（Ⅱ）假设存在题设的公共点B（b，b2）．
圆C方程为（x-a）2+（y-a2）2=（a2+）2，
将点B坐标代入上式，并整理，得（b-a）2[1+（a+b）2]=（a2+1）2．①…（7分）
对y=x2求导，得y′=x，则曲线E在点B处的切线斜率为b．
又直线AB的斜率k==（a+b）．
由圆切线的性质，有（a+b）b=-1．②…（8分）
由①和②得b2（b2-8）=0．
显然b≠0，则b=±2．…（9分）
所以存在题设的公共点B，其坐标为（±2，4），公切线方程为y=2（x-2）+4或y=-2（x+2）+4，即y=±2x-4．…（12分）