Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，AD∥BC，∠ABC=90°，PA=PB=3，BC=1，AB=2，AD=3，O是AB中点．
（I）证明CD⊥平面POC；
（II）求二面角C-PD-O的平面角的余弦值．
（Ⅲ）在侧棱PC上是否存在点M，使得BM∥平面POD，若存在试求出，若不存往，清说明理由．

Answer

（I）过C点作CE⊥AD于E，△OCD中算出OC=、CD=2且OD=，由勾股定理的逆定理证出OC⊥CD．利用面面垂直的性质与线面垂直的性质，证出PO⊥CD，结合线面垂直判定定理即可证出CD⊥平面POC；
（II）设CD的中点为F，连结OF，分别以OB、OF、OP为x轴、y轴、z轴，建立直角坐标系O-xyz．可得C、D、P、O各点的坐标，从而可得、的坐标，利用垂直向量数量积为0的方法建立方程组，解出=（3，1，0）为平面P0D的一个法向量
，同理求出平面PCD的一个法向量为=（，，1）．利用空间向量夹角公式算出、夹角的余弦值为，即可得到二面角C-PD-O的平面角的余弦值；
（III）设侧棱PC上存在点M且=λ，使得BM∥平面POD．算出向量=（-λ，-λ+1，2λ），根据平面的平行向量与其法向量互相垂直，得到•=0，解出，由此即可得到在侧棱PC上存在点M，当=时满足BM∥平面POD．
【解析】
（I）平面ABCD内，过C点作CE⊥AD于E
∵直角梯形ABCD中，AD∥BC，BC=1，AB=2，AD=3，∴AE=1，CE=2
Rt△CDE中，DE=2，可得CD==2
∵Rt△BOC中，BO=AB=1，BC=1，∴OC==
同理，得OD==
∴OD2=10=OC2+CD2，可得△OCD是以CD为斜边的直角三角形，
∴OC⊥CD
∵PA=PB，O是AB中点，∴PO⊥AB，
∵平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，PO⊂平面PAB，
∴PO⊥平面ABCD，结合CD⊂平面ABCD，得PO⊥CD
∵PO、OC是平面POC内的相交直线，∴CD⊥平面POC；
（II）设CD的中点为F，连结OF，则直线OB、OF、OP两两互相垂直，
分别以OB、OF、OP为x轴、y轴、z轴，建立直角坐标系O-xyz，如图所示
则C（1，1，0），D（-1，3，0），P（0，0，2），
可得=（0，0，2），=（-1，3，0），
设=（x，y，z）为平面P0D的一个法向量，则，
取y=1，得x=3且z=0，得=（3，1，0）
同理求出平面PCD的一个法向量为=（，，1）
∵cos＜，＞===
∴二面角C-PD-O的平面角的余弦值等于；
（III）设侧棱PC上存在点M，使得BM∥平面POD，此时=λ，则
∵=（1，1，-2），=（0，1，0）
∴=λ=（-λ，-λ，2λ），可得=+=（-λ，-λ+1，2λ），
∵BM∥平面POD，=（3，1，0）为平面P0D的一个法向量
∴•=-3λ-λ+1=0，解之得
因此，侧棱PC上存在点M，当=时满足BM∥平面POD．